Come calcolare il momento di inerzia per un'area

Come calcolare il momento di inerzia per un'area


Il momento d'inerzia dell'area è di proprietà di un oggetto areale che quantifica la sua tendenza a deviare o sopportare stress quando una forza agisce su di esso esterni. Un calcolo di questa quantità segue la stessa procedura del momento più noto di inerzia per una massa che occupa un volume di spazio. Pur non essendo una procedura complicata, determinare il momento di inerzia per un'area non richiede la conoscenza preliminare dei metodi di integrazione nel calcolo introduttiva.

istruzione

1 Orientare l'oggetto areale il cui momento di inerzia che si desidera stabilire. In questo esempio, il quadrato avrà il suo baricentro trova all'origine del sistema di coordinate, e pertanto estendersi da (-1/2) A a (1/2) un sia nel dimensioni xey.

2 Annotare il momento di inerzia tensore zona. Questa quantità prende la forma di un elemento a quattro (due a due) matrice. Così, per singoli elementi J (nm) di una matrice di m, si può scrivere ogni elemento nel modo seguente: J (11) = y ^ 2, J (12) = J (21) = -xy, e J (22) = x ^ 2.

3 Integrare ogni elemento del tensore di inerzia cui i valori limite per l'oggetto. Nel presente esempio, si dovrebbe avere quattro doppie integrali con limiti di integrazione in x di (1/2) ae (-1/2) A, ei limiti di integrazione a Y di (1/2) ae (-1/2 )un. Per la piazza, l'integrazione dei componenti off-diagonali del tensore appare come segue:

int (int (-xydx, x = (1/2) a... (-1/2) a)) dy, y = (1/2) a. . . (-1/2) A)

= Int (-1 / 2x ^ 2a |... X = (1/2) a (-1/2) a) dy, y = (1/2) a. . . (-1/2) A)

= Int (0, y = (1/2) a... (-1/2) A) = 0,

dove "int" significa "integrazione" e "|" significa "valutare ai limiti."

Si noti che la diagonale componenti J (12) e J (21) sono equivalenti per un quadrato. Per i componenti in diagonale, l'integrazione appare come:

int (int ((x ^ 2) dx, x = (1/2) a... (-1/2) a)) dy, y = (1/2) a. . . (-1/2) A)

= Int (1 / 3x ^ 3 |... X = (1/2) a (-1/2) a) dy, y = (1/2) a. . . (-1/2) A)

= Int (1 / 12a ^ 3DY, y = (1/2) a... (-1/2) A)

= 1 / 12a ^ 3y | y = (1/2) a. . . (-1/2) Un

= 1/12 (a ^ 3) a = 1/12 (a ^ 4).

Si noti che nel caso di un quadrato, il J componenti on-diagonale (11) e J (22) sono equivalenti tra loro.

4 Scrivere ogni elemento integrato del tensore di inerzia al posto del rapporto dell'elemento originale per ottenere il momento di inerzia per la zona. Qui, appaiono gli elementi J (nm) come J (11) = J (22) = 1 / 12a ^ 4 e J (12) = J (21) = 0.