Problemi di factoring

In algebra, l'espressione quadratica è di forma ax ^ 2 + bx + c, dove a, b, c sono costanti, ed x è una variabile. L'obiettivo di factoring un'espressione quadratica è di metterlo in forma (Ax + B) (Cx + D).
Le ragioni che effettuano tale compito sono molti. Quando tale espressione è impostato a zero, factoring semplifica il compito di risolvere per i valori di x. Inoltre, dà la pratica studenti moltiplicazione, e la differenza tra le variabili e costanti.

c = 0

La forma più semplice di fattore è quando C = 0. Poi la fattorizzazione è semplicemente una questione di factoring fuori una x. Ad esempio, x ^ 2 + 3x fattori da x (x + 3).

b = 0

Il prossimo più semplice espressione quadratica al fattore è quando b = 0. Il risultato ha una simmetria di esso, perché B e D sono solo la radice quadrata di c.
Ad esempio, x ^ 2 - 9 fattori a (x - 3) (x + 3).
Si noti che moltiplicando i termini dà addendi: x ^ 2, -3x, 3x e -9.
Si noti che -3x e 3x annullano quando aggiunto.
Se non è uguale a 1, cioè x ^ 2 ha un coefficiente non banale, allora tale coefficiente dovrebbe essere fattorizzato, prima una radice quadrata della costante è presa:
2x ^ 2-9
diventa
2 (x ^ 2 - 9/2).
Ora usare la radice quadrata di 9/2, come si è utilizzato la radice quadrata di 9 (cioè 3) di cui sopra:
2 (x - 3 / sqrt (2)) (x + 3 / sqrt (2))
dove "sqrt" sta per "radice quadrata".

numeri immaginari

Si noti che i due esempi precedenti c <0. usati se c è stato positivo, ad esempio x ^ 2 + 9?
Il guaio è che ci deve essere un termine negativo nella forma presi in modo che tutti i termini del primo ordine (un coefficiente di x volte) sono annullati:
(X - B) (x + B)
Ma questa forma moltiplica rivelata x ^ 2 - B ^ 2, a cui x ^ 2 + 9 non sembra comparabili. Tuttavia, definendo il numero immaginario i = sqrt (-1) consente un tale riscrittura.
Poi x ^ 2 + 9 = x ^ 2 - (3i) ^ 2, perché io ^ 2 = -1.
Così la fattorizzazione di x ^ 2 + 9 è (x - 3i) (x + 3i).

FIORETTO metodo di controllo

Problemi di factoring


Un approccio metodico per il controllo di una fattorizzazione è quello che viene chiamato il metodo pellicola. FOIL è l'acronimo di first-esterno-interno-ultima. Esso è una scorciatoia per un approccio in quattro fasi per tenere traccia di tutti e quattro moltiplicazioni coinvolte nel moltiplicare i termini di una fattorizzazione.
Useremo (3x + 4) (5x - 3) come esempio.
Con "prima" in un foglio si intende moltiplicando il primo termine del primo fattore per il primo termine nel secondo fattore:
3x 5x = 15x ^ 2
Con il termine "esterno" in un foglio si intende moltiplicando i due termini esterni, 3x e -3:
3x (-3) = -9x
Con "interno" in un foglio si intende moltiplicando i due termine, a 4 e 5x:
4 5x = 20x
Con "ultimo" si intende moltiplicare gli ultimi due termini nei due prodotti:
4 (-3) = -12
Seguendo questa routine, si può essere certi di seguire attraverso su ciascuno dei quattro possibili moltiplicazioni.

L'aggiunta di questi termini insieme dà 15x ^ 2 - 9x + 20x - 15x 12 = ^ 2 + 11x - 12

Reverse Metodo FOIL

Il metodo FOIL inverso è un approccio per tentativi ed errori per quadratiche factoring. Si richiede la padronanza di factoring coefficienti.
La forma (Ax + B) (Cx + D) viene confrontato con ax ^ 2 + bx + c.
c devono fattore in B D. un fattore deve in A C.
Giocando con le possibilità, si può trovare fattorizzazione di A e C tale che b = BC + AD, cioè il coefficiente del termine x.
esempio:
2x ^ 2 + 7x + 3
Confrontando questo al modulo (Ax + B) (Cx + D), chiaramente, B e D sono 1 e 3, ma che è che non è affatto prima chiara. Inoltre, A e C sono chiaramente 1 e 2, ma di nuovo, che è che non è chiaro.
Le possibilità possono essere collegati per vedere cosa moltiplica fuori alla forma originale. Cercando A = 1 e D = 3 dà:
(X + 1) (2x + 3)
Utilizzando il metodo FOIL per moltiplicare tutti i termini dà: 2x ^ 2, 3x, 2x, 3x e 3. Il 2x non sarà aggiungere a 7x, quindi è necessario un altro processo.
Cercando A = 2 e D = 3:
(2x + 1) (x + 3) dà 2x ^ 2, 6x, 1x, 3
6x e 1x aggiungono a dare il 7x desiderato, quindi (2x + 1) (x + 3) è la soluzione.
C'era un modo più veloce, utilizzando il requisito che b = BC + AD? Inserendo nella seconda ipotesi (A = 2 e D = 3) dà 7 = BC + 2 * 3, dando la soluzione BC = 1. Quindi, B e C pari 1. Nonostante la sua brevità, alcuni studenti potrebbero non trovare un approccio particolarmente equazione Più facile.

Formula quadratica

Un altro metodo per factoring è quello di scomporre il coefficiente di x ^ 2, quindi utilizzare quello che viene chiamato la formula quadratica.
Si può dimostrare, utilizzando un metodo chiamato "completando il quadrato", che la soluzione a Ax ^ 2 + bx + c = 0 è x = [-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)] / [2a] , dove +/- mezzi "più o meno" e indica che se b ^ 2 - 4ac è diverso da zero, allora x ha più di una soluzione.
Se l'espressione quadratica ha a = 1, allora x ^ 2 + bx + c può essere scomposto in (x - QF1) (x - QF2), dove QF1 e QF2 sono le due soluzioni fornite dal formula quadratica.
Perché questo lavoro? Perché QF1 QF2 e sono i due valori di x, dove l'espressione quadratica hanno valore zero. Pertanto, questi sono i valori di x per cui la forma (x + B) (x + D) è uguale a zero. (X + B) deve essere zero ad uno di essi, e (x + D) deve essere zero all'altra.
Quindi (x + B) = (QF1 + B) = 0, quindi B = -QF1. Allo stesso modo per D.
Come ottenere un = 1 Per utilizzare questo metodo? Basta fattore fuori al lato destro alla partenza.

ordini superiori

Alcuni polinomi di ordine superiore possono essere facilmente presi con i metodi sopra, se possono essere riscritte in una forma quadratica. Ad esempio, x ^ 4-81 possono essere ceduti riconoscendo come la stessa forma del x ^ 2-9 che è stato scomposto in precedenza.
Sostituzione può fare la contabilità più facile, in modo da lasciare u = x ^ 2.
Poi l'espressione diviene u ^ 2-81.
Factoring dà (u - 9) (u + 9),
o (x ^ 2 - 9) (x ^ 2 + 9).
Questa espressione può essere scomposto ulteriormente, con le modalità di cui sopra, per dare
(X - 3) (x + 3) (x - 3i) (x + 3i)